Formas de representar una curva:
- Ecuación explícita
- Ecuación implícita
- Ecuación paramétrica
Ecuación paramétrica:
Forma de representar una curva de manera que para cada valor dado al parámetro t se obtiene un punto de la curva.
C(t) = , a
x(t), y(t), z(t) = polinomios
La curva derivada define el vector tangente a la curva en cada punto. Su módulo se corresponde con la velocidad a la que se recorre la curva, es decir, cómo varía la curva C(t) en función del parámetro t.
En nuestro caso, para modelado, parametrizaremos la curva en el intervalo 0 y 1.
Reparametrización de una curva:
C(s), a s → C(t), 0 t 1
Regla de tres:
[a, b] → [0, 1]
s → t =
De esta forma si s=a ⇒ t=0, y si s=b ⇒ t=1
Ejemplo:
C(s=-1) = P, C(s=2) = Q
[-1, 2] → [0, 1]
s → t = → s = 3t-1
C(s) = , -1 s 2 ⇒ C(t) = , 0 t 1
Representación mediante coeficientes: forma matricial:
C(t) = = ·
Ten en cuenta que:
* 0 <= t <= 1
* (3t - 1)^3 = 27t^3 - 27t^2 + 9t -1
* La cuarta columna de la matriz sin coeficientes (-1 .1 .1 1) define el punto de la curva que se obtiene para C(t=0)
Curva derivada:
C’(t) = ·
La tercera columna de la matriz sin coeficientes (3 9 0 0) define el vector tangente a la curva en C(t=0)
Representación mediante puntos de control:
Para una curva de grado n se necesita {}
C(t) = = ·
$b_{i}(t)$ = funciones blending
En nuestro caso solo trataremos con las curvas de Bézier.
Para n=3, curva cúbica de Bézier {}
C(t) = · = · B ·
B es la matriz de Bézier
C’(t) = PC · B’ · T